リーマンの謎
前回”2の1”では､”オイラー積”により素数が無限に存在する事が解ったんですが。素数がどれだけ沢山あるか?という疑問にぶつかる。これこそが素数の本当の謎です。 オイラーが発見した､素数が無限にあるという事は､とてつもなく大きな発見ですが､一つの進展に…
前回の”プロローグ”では､リーマン予想を支える素数公式(素数の自明な個数)とギリシャ数学が取り組んだ”素数列”について述べました。 そして､この素数の謎である”素数が無限にある事の自明な証明”を､2000年ぶりに解読した”オイラー積”という偉大なる”積分解”…
リーマンの謎ブログもお目出度く？”その1”(全12話)を終了し､”その2”の”素数の謎の旅”に出掛けます。 そこで今日は”その2”に入る前に､プロローグ(序章)という事で､心の準備も兼ねてです。 リーマン予想が解けて何になるの？ よくリーマン予想が解けたとしても…
昨年の大晦日以来､約半月ぶりの更新です。随分とご無沙汰になった様な感じで､メインストリームだった”リーマンの謎”も”大場政夫”に追い抜かれちゃいました(悲)。 実を言うと数学スランプというか､リーマンアレルギーになりつつありまして､リーマン”その1”(全…
前回”1の9”で､素点と完備化とP進距離(P進絶対値)について述べたんですが､後半は少しバテ気味だったので新たに補足です。 この”P進絶対値”という概念は数論の中核をなすので知っておいて損はないと思います。数論に強い人は､これを知るだけでも閉ざされた数学…
今日は､”P進距離”という聞き慣れないテーマです。これは､前回”1の8”で述べたカントールの無限大の考察に加え､完備ゼータにとって欠かせない概念です。 とにかく数学とは”収束”という概念が前提になる訳で､完備化も素点もP進距離も収束というのが前提になりま…
前回”1の7”に続きますが。カントールのもう一つの偉大な発見は､無限大の大きさを正しく定義し､分類した事です。 これは､前回で述べたカントールの定理である”有利数列の完備化”よりもずっと凄い事かもです。 自然数､整数､有理数が可算無限(数えれるレベルの…
”その1”を”1の7”の8話で終わるつもりでしたが。急遽､最後に完備化と素点のお話を加える事にしました。ここである程度突っ込んだ方が､後々楽になると思ったからです。 この完備化と次回の”1の8”で述べるカントールの対角線論法は､数論では非常に重要な位置を…
”1の2”から”1の5”まで延々とリーマンの”解析接続”を述べてきましたが。あと6話ほどで､”その1”(シーズン1)の最後にします。その後は､”その2”(シーズン2)に入ります。多分6話ほどになる予定ですが（実際には17話にも膨れましたが^^）。 さてと今日は､オイラー…
リーマンの”解析接続”も5回目で､思った以上に複雑ですね。関数等式1つ1つに固有の解析接続方法がある。 エニグマと同じですな。1つ1つのUボートに固有の暗号が用意されてる。ドイツ人らしい実直な手堅いやり方です。 さてと､”1の4”(Click)で述べたリーマンの…
前回”1の3”では､”第一積分表示”ζ(s)＝1/Γ(s)∫[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dtの分母であるガンマ関数Γ(s)の解析接続が終り､今回は､分子の方の”広義積分”の解析接続です。 前回で使った”オイラー第一積分表示”よりも”リーマンの第二積分表示”の方が､この広義積分の収束を…
前回”その1”と”その2”で述べた様に､ゼータ関数の級数の項を絶対値で括る事で､ゼータ関数ζ(s)が複素数sの実部が1より大きい領域(右半分)で絶対収束する事を証明しました。 しかしそれだけでは､sの実部が1より小さい領域(左半分)に広げる事は不可能です。そこ…
オイラーからディリクレを経由し､ゼータ関数のバトンを受け取ったリーマンは､このゼータ関数の定義域を､まず整数域から実数域へ､そして複素数域へと広げていきます。 そこで先ずリーマンは､この謎の無限級数の”各項の絶対値を取った収束性”を考えたのです。…
”その1”(シーズン1)のプロローグを紹介し終えた所で､”1の1”に入ります。 リーマンゼータの新たなる旅立ちです。ゆっくりと慌てずに､難しい所は､飛ばしても構いません。とにかく大体のイメージを描いて下さいね。 ”リーマンゼータ関数の全ての非自明な零点の…
先日は､Unicodeでの数式の出来を確認する為､”旧その1”を久しぶりに更新しました。 一応､見易くはなってるとは思うので､出来るだけ随時､”その1”から順番に更新していこうと。これからリーマン一色になりそうですが､悪しからずですが。 リーマン(1826〜1866)は…
前回”旧4の3”では､0を含む負の整数のゼータの特殊値について述べました。 この特殊値の導出に関してはベルヌーイ数Bₙを使うんですが､前々回”旧4の2”でも述べた様にこのベルヌーイ数Bₙを求めるには一般には､B₀=1､Bₙ=−1/(n+1)*Σₖ[0,n+1]ₙ₊₁CₖBₖという”ベルヌイ…
前々回の”旧4の1”で述べた様に､リーマン予想というのはどうしても､ゼータ関数の解が(零点)が実軸1/2の直線上にあるとか､素数定理とか､そういった表立ったものばかりに目が行きますが。一方でゼータの特殊値を求める事からも始まったんです。 その中でも特に､…
リーマンの謎にのめり込むキッカケとなったのが､｢数学の夢〜素数からのひろがり｣(イラスト)です。 この本では素数の謎が､オイラーやリーマンによって解明され､ゼータとゼータの謎を生み､このゼータの統一こそが絶対数学の夢に繋がるとあり､その先にリーマン…
上の図は､複素数平面(xy座標)におけるリーマンゼータ関数を色で表現(白いほど発散し､黒いほどゼロに)してます。 横軸xが複素数sの実部Re(s)で､縦軸yが虚部Im(s)です。色軸がリーマンゼータ関数ζ(s)の値です。つまり､この図は複素平面とζ(s)値の3次元空間を表…
”旧その1”では､リーマンゼータ関数の概略を､”旧その2”ではオイラーにより発見されたゼータ関数が複素数上でも定義できる事を大まかに述べました。 リーマンは､この謎深きゼータ関数を解析接続し､複素数s＝1以外の全ての点で定義できる様に拡張したのですが。…
”ゼータ関数の謎”こそが､リーマン予想の核であり､”素数の謎”を解く筈だったリーマン予想が､ゼータの謎を伴い､あらゆる方向に拡張&展開していくんですが。 おいおい､”リーマンの謎”は”素数の謎”じゃなかったのか？話は違うじゃないか？って言われそうですが。…
写真は､リーマンが1859年に発表した､有名な論文です。この”与えられた数より小さい素数の個数について”の論文から､現代数学が産声を上げたと言っても過言ではないでしょうか。この中にリーマンの夢が凝縮されてたんですね。 さて､本題に入ります。前回はゼー…
アーベルの後は､ベルヌーイそして､オイラーを経由し､素数定理と素数の謎と進みたかったんですが。ベルヌーイ数でかなり頓挫してますので､ここで”リーマンの夢”である”ゼータ関数の謎”を追いかけてみます。悪しからずです。 この本のタイトルにある様に､”ゼー…
前回の”その7”では､振動アーベル総和法の､ζ(−1)＝"1+2+3+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝−1/12､0＜x(≒0)の証明をしました。 今回は振動アーベル総和法の特殊公式ではなく､”一般公式”についてです。 今日で､”アーベル総和法”ブログの更新は終わりです…
今回は､前回飛ばした無限項における自然数和の"振動アーベル総和"の公式､"1+2+3+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝−1/12､ 0＜x(≒0)の証明です。 この自然数和の振動アーベル総和法では､非常にゆっくり減衰振動する収束因子(e⁻ᵏˣとcos(kx))を発散級数に…
1年ぶりにアーベル総和法を更新してますが､結構いい加減な事書いてますね。慌てて修正する始末で､スンマセン。 この発散級数の総和法による収束ですが。リーマンゼータが登場するまでは､抽象的過ぎて大変な作業だったんですね。リーマンの解析接続もある意味…
前回”旧その2”で触れた､整数域(＞0)のゼータ関数ζ(s)の特殊値ですが。仮に､範囲外である､s=0と−1を入れてみましょう。すると､ζ(0)＝"1+1+1+•••"＝−1/2､ ζ(−1)＝"1+2+3+•••"＝−1/12､と､現実では考えられない値をとるんです。 というのも､整数域のゼータは負の…
ふとした偶然からリーマンに出会い､そして”リーマンの謎”にのめり込んでしまいました。これこそが世界中の数学者を虜にした､魅惑の”ゼータ謎解き”の醍醐味なんだろうか。 しかしズブの数学素人が､ゼータに内蔵する個々の定理をバカ正直に証明する事は､それ自…
ジョージ•フリードリッヒ•ベルンハルト•リーマン､1826〜1866)は､19世紀を代表する偉大なドイツの数学者です。 リーマンは､オイラーの百年後にゼータ関数論を再興した。その中心が､33歳の時1859年11月に発表した僅か6頁の短い論文でした。 リーマンがオイラー…
