エヴァリスト･ガロア
前回｢#8-1｣では､第6,7節でのガロアの主張である”素次数の既約方程式がべき根で解ける為の必十条件は､全ての根がその中の2つの根により有理的に表される”事を紹介しました。 ガロアは､”素数次既約方程式がべき根で解けるならば､その方程式の群はxₖ､xₐₖ₊ₑの形…
ガロアの第一論文の中で最も重要なのは､｢#7-1｣と｢#7-2｣で述べた第5節にあり､第6､7､8節の内容が述べられる事は殆どない。 つまり､方程式をべき根で解ける事は第5節で完全に解明された訳であり､その後のガロア理論は方程式を離れ､群や体の理論として大きく発展…
前回｢#7の1｣では､第5節の前半まで紹介しました。ガロアが[定理5]で述べた”上記の条件”とは､”ガロア群に正規部分群が存在し､その剰余類群の位数が素数”という事でした。 つまり､上記の様にしてラグランジュの分解式Eを作れば､Eᵖはこの正規部分群で不変となり､…
前回｢#6｣では､ガロアは”体K(r)に群Hが対応する”事を主張した。 これは､ガロア理論の中核にある｢対応定理｣とも言え､”体Kのガロア群をGとすると､拡大体K(V)のガロア群は単位置換{ε}だけとなる。この時､体Kと体K(V)との間に中間体K(r)があれば､それに対応するG…
前回｢#5｣では､ガロア群の中に正規部分群の存在を示したガロアでしたが､今日紹介する第4節では”(元の方程式に)根の有理式の値を添加すれば､その値を不変とする所までガロア群が縮小する”事を述べている。 第8章〜ラグランジュの定理 第4節では､”ある方程式に…
前回｢#4-2｣では､Hの全ての置換に､τ⁻¹στの操作をすれば､H₁の全ての置換を得る事が判った。 つまり､K(r)のガロア群がH､K(r₁)のガロア群がH₁､K(r₂)のガロア群がH₂､…とする。但し､h(x.r)=0の根の1つをV､h(x.r₁)=0の根の1つをV₁､h(x.r₂)=0の根の1つをV₂､…とした時…
第2節の後半ですが､｢前半｣で述べたガロアの主張(1)を2つに分けて考察し､その後に正規部分群に繋がる､主張(2)を説明します。主張(1)を完璧にマスターすれば､難解とされる主張(2)は意外にも簡単に理解できそうです。 以下､長らくお付き合いください。(1)の考察…
前回｢#3｣では､ガロアの第一論文の第1節を紹介しましたが､これから紹介する第2~4節は非常に厄介で”これらの証明を完璧にする為に必要なものがあるが､僕には時間がない”と殴り書きしてる様に､ガロア自身もかなり困窮している。 因みに､遺書の中には3つの論文が…
第1節に入る前に､｢序章｣で紹介した群の基本定理の3つは以降でも述べるので省略し､これまでの3話で紹介した4つ補題を簡単に振り返ります。 [補題1]は”有理多項式と既約多項式が共通根を持てば､有理多項式は既約多項式で割り切れる”は､多項式を整数に置き換え…
前々回の｢プロローグ｣で紹介した[補題1]ですが､”既役な方程式は､有理的な方程式を割り切る時を除けば､共通根を持つ事はない”とガロアは述べてるが､f(x)=0とF(x)=0が共通根αを持てば､F(x)がf(x)で割り切れる筈であり､”a,b,c,…が全て共通根になるのでは？”と思…
前回の｢プロローグ｣では､群の基本と[補題1]について述べました。 以下で述べる､残り3つの補題は第1論文の中核を成す｢単拡大定理｣に直接結びつくもので､方程式のガロア群の重要な基盤を成します。故に､ガロア群の地盤を固める様に時間を掛けて進んでいきます…
｢その18｣では､解の対称性から方程式のガロア群を説明したつもりだが､イマイチすっきりとしない。大まかな概念や観念は理解できても､どうもガロアの本音を理解出来てない気がする。 ジョルダンが1870年に｢置換論｣を発表し､ガロアの方程式論に決着をつけた筈だ…
過去､計17話にてガロアの定理を説明してきましたが､十分に説明するのはやはり困難が付き纏いますね。 というのも､アーベルが”代数的に解けない”と主張した5次以上の既約方程式でも､(以下でも述べるが)ガウスが証明した様に､円周等分方程式なら､べき根で解け…
正規部分群の右剰余類が巡回群(つまり可換群)になる事をガロアは発見し､こうした正規部分群を”方程式のガロア群”の中に見つける事で代数的に解ける。厳密に言えば､方程式の解が係数の四則演算と有限個の√の組合せで表せる事を証明しました。 一方で､アーベル…
一昨年の6月以来の｢ガロア群｣ですが､これまでを大まかに整理します。 2次方程式のガロア理論(｢その8｣と｢その9｣)でも述べた様に､2次方程式の解から作る代数体の自己同型(全単射)の仕組みを考察する事にありました。 3次方程式のガロア理論では､対称性をなす可…
寄り道ばかりで､中々前へ進まない｢ガロアを巡る旅｣ですが。前々回”その13”では､複素数つまり負の平方根(虚根)を巡る長い歴史について述べました。 今日は長くなりますが､前半は複素平面に関する簡単なテーマですので､軽く流す様に読んでください。 この負の…
3月18日以来のガロアを巡る旅ですが､前々回”その13”では､”複素数を許すなら全てのn次方程式の解を保証する”というガウスの発見こそが､”5次以上の方程式には四則とべき根(ルート)で求める解法は存在しない”という､僅か17歳の青年が発見した｢不可能の証明｣であ…
先日の”その13”の冒頭でも紹介した｢方程式のガロア群｣(金重明著)ですが､私にはエヴァリスト･ガロアとガロア群を理解する大きな手引書となりました。 しかし､3次方程式のガロア群で頓挫し､ガロアを巡る旅は終わりかけたんですが､｢天才ガロアの発想力｣(小島寛…
｢天才ガロアの発想力｣(小島寛之著)を紹介し､第8話目になりますが。 方程式の解法の歴史(その6)とガロア理論に繋がる歴史(その7)をまず述べ､次に2次方程式のガロア理論(その8とその9)と3次方程式のガロア理論(その10からその12)で述べました。 以前､｢方程式の…
アクセ数の激減が止まらない私めの過疎ブログですが､それに輪を掛けるような難しいテーマが続きますが､ご勘弁をです。 さてと前回”その11”では､群の構造を調べる為に､部分群を探したんですが､巡回群を列挙する事でその作業を簡単に出来ます。可換群となる部…
前回”その10”では､群があみだクジや図形の対称性と密な繋がりを持つ事を長々と紹介しました。 というのも､対称性とそれが生み出す群は物質の対称性を理解する上で､今では貴重なツールとなるものです。 特に､鏡像を作る対称操作は私たちの生活に深い関わりを…
前後2話で9千字近くを掛けて､ご丁寧に紹介した2次方程式のガロア理論でしたが。3次方程式のガロア理論に関しては､少しややこしくなるので､3回(前半･中盤･後半)に分けて紹介したいと思います。 但し､最後でも述べますが､群論を完璧に理解してる人は､この記事…
前回”その8”では､有理数体Qに√2を加えた体K=Q(√2)がQの拡大体になる事と､2次元ベクトル空間とみなせる拡大体Kの自己同型には恒等写像と共役写像の2つしかない事の2つを証明しました。 そこで今日は､2次方程式のガロア理論の後半として､2次方程式の解を有理数…
前回”その7”では､3次元方程式と4次元方程式の解法の発見の歴史と､それから5次元方程式の解法へ向かう歴史について述べました。 以下､簡単に振り返ります。 3次元と4次元では､16世紀にイタリアのフォンタナとフェラリが発見しますが､明確な証明はなく､偶然の…
前回”その6”では､方程式の解法に巡る古くも長い歴史について述べました。 2次方程式までは殆ど人がスンナリと理解できると思いますが､3次方程式となると一気に難しくなります。複素数解のωが登場し､それに比例するかのようにガロア理論もより複雑になってい…
一昨年の5月以来の”ガロア訪問”です。”ガロアを巡る旅､その5”では3次方程式のガロア群の最後で頓挫してしまい。以来､1年と8ヶ月ほど放ったらかしでした。 長くご無沙汰しすぎたので､簡単におさらいします。 エヴァリスト･ガロア(仏､1811-1832)は20歳の朝､銃…
約1ヶ月ぶりのガロア探訪ですが。考える程に頭が混乱しますな。ガロア群を自明な形で表現したいんですが､人それぞれに表現の仕方が異なり､それだけでパニックになりそうです。 さてと過去2回に渡り､ガロア群の基本を簡単な実例を交え､述べてきました。勘のい…
前回(その3)では､体の概念や係数体と拡大体について述べましたが。”その3”と今日の”その4”は1つに纏めた方が解りやすいんですが､長くなり過ぎたので2つに分けました。 今日(その4)は実際に､最も簡単な”既約”方程式(x²＝2)をガロア流に料理していきます。今日…
前回その2では､方程式が代数的に解けるか否かは､解の置換群の構造を見れば分かるという所で終えました。そこで､”解の置換”に入る前に､ガロア群についての基本をおさらいしたいと思います。 ”一般方程式を代数学的に解くとは､係数に四則演算と累乗根を施して…
前回のガロアを巡る旅”その1”では､ガロアが生み出した”群”について大まかに述べましたが。面白いコメントがあったので少し紹介します。 コメントの女性は､”SEXも群と同じ様なものね､2つのモノ？が結合し新しいものを生み出すって､それこそが男とオンナの関係…
