リーマンの謎
前回の”3の9の2”で留数定理をマスターした後は､”正則性と解析性”について説明します。 一見すればどちらも一緒じゃんって思うんですが､これが微妙に違うんですね。 特に､(複素)解析についてはリーマンが好んで使ったツールで､実数界と異なりタイトな条件があ…
前回”3の9”では､テイラー展開からローラン展開へ､そしてローラン展開が導き出す”留数”について述べました。 前回を簡単に振り返ると､テイラー級数(正則関数)をあるべき乗で割り､特異点(極)周りのローラン級数を作り､留数(残留物)をつまみだす。この流れが実…
”3の8”でも少し述べた様に､リーマンの明示公式(素数公式)の導出には､ゼータ関数の解析接続を用います。この解析接続には､複素関数の積分が不可欠です。 そして､この複素積分の肝となるのが”留数定理”です。この留数定理は”複素解析の為にある”と言っても過言…
前回”3の8”の後半で少し紹介した”深リーマン予想”ですが。実は､リーマンの謎を記事にする前に､”深リーマン予想”という言葉だけは知っていました。 黒川重信氏の著書には決まった様に､この”深リーマン予想”と”絶対数学”の2つが登場します。 初めて”深リーマン…
1/13以来､約2ヶ月ぶりのリーマンの謎ですが､少し間が空いたので簡単に振り返ります。 オイラー積を使い､素数の謎を解き明かしたオイラーですが､オイラー積の片方にはゼータ関数が眠ってました。 このゼータ関数には全ての素数が1回ずつ参加してます。故に､ゼ…
素数定理の簡潔化された証明として､タウバー型定理を使ったやり方を”3の5”と”3の6”で述べましたが､寄せられたコメントを元に振り返ってみると､まだまだ不足がありますね。 そこで､前回”3の6”の追記&修正版となりますが､素数定理の証明の簡単な流れからおさら…
私の悪い癖だが､難しい問題に出くわすと､それを避けたがる傾向にある。大半の人類もそうだが､100%そんな人種だと､人類は100%破滅する。 ”リーマンの謎”ブログはこれまで52回書いてきたが､正直､苦難とまではいかないが､大きな壁にぶつかりながら､何度も辞めよ…
”3の2”ではディリクレが発見したL関数(ゼータ関数の親玉)と素数の接点を､”3の3”ではオイラー積からギリシャ時代の素数物語への変換点を､そして前回”3の4”では､チェビシェフとリーマンとマンゴルドの素数階段の物語を長々と述べました。 そこで今日は､もう一…
前回”3の3”では､オイラーが発見した”無限和”の考察であるオイラー積(表示)が､ギリシャ時代の素数物語をゼータ関数に結びつけ､ディリクレのL関数と素数の考察を経由し､如何にリーマンに結びつけたかを述べました。 そこで今日は､再びオイラー積に舞い戻り､こ…
前回”3の2”では､ディリクレとL関数(ゼータ関数)と素数との繋がりについて述べました。 そして､このディリクレの素数研究に大きな影響を与えたオイラーの無限和の考察こそが､素数が無限個ある事を突き止めます。 そこで今日は､オイラーが発見したこの”無限和”…
前回の”3の1”では､コーシーからリーマンに引き継がれた”複素解析”について大まかに述べました。このリーマンの謎を解く大きな原動力となったコーシーの複素解析はリーマンが受け継ぎ､大きく飛躍します。 しかし､それだけではゼータ関数と素数の繋がりは何処…
リーマンの論文(1859)が”オイラー積”から始まった事で､オイラーが起点となったリーマン予想だと､いや”リーマンの謎”だと思い込んでしまった。 勿論､オイラーが発見したゼータ級数や､オイラーが2千年ぶりにこぎ着けた”素数が無限大である”事の証明と､それに不…
約1年弱ぶりの”リーマンの謎”ブログです。”その3”に突入する前に､大まかな概略を述べます。 以下で述べる”その1”と”その2”に関しては､コツコツと更新を続けてたので､多少は読み易くはなってるかと思いますが。 因みにイラストは､かのアーベルが憧れたという､…
前回の”2の16”では､素数定理とリーマンの明示公式には､ジャック•アダマールの存在がとてつもなく大きい事を述べました。 今回は､このフランスの大数学者であるジャック•サロモン•アダマール(Jacques Salomon Hadamard＝1865−1963)について詳しく紹介します。…
前回の”2の15”では､素数定理とリーマン予想の密な繋がりについて述べました。 今回は少し掘り下げ､リーマンの論文(1859)から眺めた､素数定理とリーマンの明示公式を探ってみたいと思います。後でも述べますが､一般に前者を”緩い”素数定理､後者を”強い(キツい…
前回2の14では､チェビシェフの素数定理(恒等式)とマンゴルド関数を使って素数定理を証明しました。出来れば要Clickです。 ロシアのチェビシェフ(1821-1894)とドイツのリーマン(1826−1866)がゼータ関数で繋がってたという事実は､意外と知られてはいない。 ”2…
”2の13の1”で､素数定理に関するチェビシェフの不等式(π(x)の近似)を紹介しましたが。非常に判り辛く､曖昧で難解な点も多かったと思います。多分､アクセした方はいたでしょうが､読んで理解できた方は多分いないかな？と思います(悲)。 そこで､フォン•マンゴル…
前回”2の13の1”では､長々と､チェビシェフの素数に関する不等式の証明の前半部を説明しましたが､非常にややこしいですね。 このチャビシェフの主張とは､素数定理の”粗い”形として､π(x)の挙動がx/logxの定数倍として抑えられる不等式”C₂x/logx≤π(x)≤C₁x/logxー…
素数の自然数における割合が0%である事実を振り返ると､これはx→∞の時に素数が非常に少なくなる事を意味し､その度合いがおおよそ1/logx程の少なさというのが素数定理の意味でしたね。 つまり､素数定理”π(x)~x/logx”は､x以下の自然数が素数である様な確率がほ…
”2の7”〜”2の11”では､少し本道を逸れ､番外編ぽくして”素数定理”を判り易く紹介したつもりですが。思った以上にややこしく､深く長い険しい道のりですね。 因みに､チェビシェフ博士のイラストは若い時のものです。素数の深い謎と素数定理の長い歴史 この素数定…
さてと､前回”2の10”の最後では､改訂版素数定理について述べましたが。今日はチェビシェフの初等的素数定理です。初等的と言っても､これも現代数学を大きく変革させ､リーマン予想に繋がる偉業と言っても大げさではないでしょうか。 数学者になる事を決心させ…
前回”その9”では､ディリクレの素数定理について説明しましたが､今回は再び､ギリシャ時代に舞い戻ります。 リーマンの謎も素数の謎に埋もれたままですが､もう少しの辛抱をです。 さてと本題に入ります。 前回述べた様に､リーマンは1859年の論文でガウスの素数…
前回”2の8”では､リーマンの師匠であるガウスの素数定理について述べましたが。 今日はリーマンの先輩である､ディリクレの素数定理についてです。リーマンがこれ程の数学者になり得たのも､リーマン予想が数学史上の最難題となり得たのも､実はこのディリクレ(1…
前回"2の7"ではリーマンが眺めた素数定理でしたが､今回はリーマンの師匠であるガウスが眺めた素数の謎です。先ずはガウスの複雑な生き様からです。 素数定理(PNT=PrimeNumberTheorem)を最初に察知したのは前回でも紹介したカール•フリードリッヒ•ガウス(1777…
今日は素数のややこしい謎から少し横道に逸れ､番外編ぽくして､リーマンが眺めた素数定理について書きます。 1859年にリーマンがベルリンアカデミーに提出した､｢与えられた数よりも小さな素数の個数について｣という表題の僅か8ページの論文ですが。 この論文…
前回”2の5”では､素数定理の仕組みと歴史を大まかに説明しました。 まず､素数の第二の謎である”素数の逆数和の発散の度合い”がどれ程のものか？オイラー積を使う事で簡単な漸化式"1/2+1/3+1/5+1/7+･･･=loglog∞"をオイラーは発見しました(1737年)。 しかしガウ…
前回”2の4”では､素数の第1の謎である”素数の逆数の和が無限大”である事を証明しました。そして､素数の個数の無限大が､ある程度”大きな無限大”である事も判りました。これだけでも怖ろしく凄い事なんですが。 その上オイラーは､第2の謎である”素数の逆数和の…
前回の”2の3”では､無限大の考察と逆数の和について述べましたが。今回はいよいよ素数の謎の心臓部である､”素数はどれだけ沢山あるのか？”を考えます。 かのギリシャ時代の大天才ユークリッドですら､思いもつかなかった謎でした。 そこでオイラーは､逆数の和…
昨年6月に更新した”その4”(全4話)ですが､まだまだ曖昧な部分が多く､加筆＆訂正中で､全て新規に更新する予定で､それまでは”旧その4”として置き換えてます。 この”その4”は､オイラーの偉業の中核を成し､”バーゼル問題とゼータの特殊値”からベルヌイ数に至る旅…
”2の1”と”2の2”で述べた様に､素数が無限に存在する事は､ギリシャ時代に既に研究され､ユーグリッドの背理法(直接法)で一応の証明がなされ､”オイラー積”により､2000年ぶりに自明な証明が得られた。素数はどれだけ沢山あるのか？ そこでオイラーは､”素数がどれ…
